Ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a^3}{a^2+b^2+ab}=\frac{a^4}{a\left(a^2+b^2+ab\right)}=\frac{a^4}{a^3+ab^2+a^2b}=\frac{a^4}{a^3+ab\left(a+b\right)}\\\frac{b^3}{b^2+c^2+bc}=\frac{b^4}{b\left(b^2+c^2+bc\right)}=\frac{b^4}{b^3+bc^2+b^2c}=\frac{b^4}{b^3+bc\left(b+c\right)}\\\frac{c^3}{c^2+a^2+ca}=\frac{c^4}{c\left(c^2+a^2+ca\right)}=\frac{c^4}{c^3+ca^2+c^2a}=\frac{c^4}{c^3+ca\left(c+a\right)}\end{cases}}\)

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành :

\(\frac{a^4}{a^3+ab\left(a+b\right)}+\frac{b^4}{b^3+bc\left(b+c\right)}+\frac{c^4}{c^3+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a+b+c}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\)

Dễ dàng phân tích \(a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

=> \(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)

Xét bất đẳng thức phụ : 3( a² + b² + c² ) ≥ ( a + b + c )²

<=> 3a² + 3b² + 3c² - a² - b² - c² - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² ≥ 0 ( đúng )

Khi đó áp dụng vào bài toán ta có : \(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}=\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

bài này mới được thầy sửa hồi chiều nè @@

Vì a,b dương => ( a + b ) ( a - b )² \(\ge\)0 => a³ + b³ \(\ge\)ab ( a + b )

BĐT tương đương với 3a³\(\ge\)2a³ + 2ab ( a + b ) - b³ = 2a³ + 2a²b + 2ab² - a²b - ab² - b³ = ( a² + ab + b³ ) ( 2a - b )

Suy ra : \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{2a-b}{3}\)(1)

Chứng minh tương tự ta được : \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b-c}{3}\)(2) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c-a}{3}\)(3)

Từ (1) ; (2) và (3) => \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)(đpcm)

cách ít lòng vòng hơn cách của quỳnh nhiều nè 

Ta có đẳng thức sau : \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)( cách cm thì chỉ cần chuyển vế rồi dùng hđt thôi)

Khi đó : \(2VT=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức phụ \(\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}\left(x+y\right)\)có : ( biến đổi tương đương là được nhé )

\(2VT\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)+\frac{1}{3}\left(b+c\right)+\frac{1}{3}\left(c+a\right)=\frac{1}{3}.2.\left(a+b+c\right)\)

\(< =>VT\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^4}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{a+b+c}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{a+b+c}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số cho vế trái

\(\Rightarrow\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+a^2c}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^3+a^2b+a^2c\right)+\left(b^3+b^2c+ab^2\right)+\left(c^3+c^2a+bc^2\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2\left(a+b+c\right)+b^2\left(a+b+c\right)+c^2\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)

Chứng minh rằng: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\ge\frac{a+b+c}{3}\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 3 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)( đpcm )

Vậy \(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\ge\frac{a+b+c}{3}\)

Vì \(\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{a+b+c}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\) ( đpcm )

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT=\frac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\frac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\frac{c^4}{c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)

\(\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}=VP\)

Hoặc có thể dùng AM-GM

Đặt A=...

Ta có \(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}=0\)

=>\(2A=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b}{3}\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+a^2b+ab^2+a^2b+ab^2+b^3\)

<=>\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\) (luôn đúng với BĐT cô-si)

Tương tự như vậy + vào, ta có \(2A\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\Rightarrow A\ge\frac{a+b+c}{3}\left(ĐPCM\right)\)

Dấu = xảy ra <=>a=b=c>0

^_^

\(A=\frac{\frac{1}{2}a^2\left(\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+1\right)\left[\left(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{c}\right)^2+\left(\sqrt[3]{b}-1\right)^2+\left(\sqrt[3]{c}-1\right)^2\right]}{2\left(a+2\right)\left(a+\sqrt[3]{bc}\right)}\ge0\)

\(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}=\Sigma_{cyc}A+\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a-1\right)^2}{3\left(a+2\right)}+\frac{5}{6}\left(a+b+c\right)-1\ge\frac{5}{6}\left(a+b+c\right)-1=\frac{3}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số 

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\)\(\ge\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)

Chứng minh rằng : \(\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow18\ge3\left(3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}\right)\)

\(\Leftrightarrow18\ge9+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}+3\sqrt[3]{ab}\)

\(\Leftrightarrow9\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+1\ge3\sqrt[3]{ab}\\b+c+1\ge3\sqrt[3]{bc}\\c+a+1\ge3\sqrt[3]{ca}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)+3\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\)

\(\Rightarrow9\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\left(đpcm\right)\)

Vì \(\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\)

Mà \(\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

ta có 

A=\(\frac{a^4}{ab^2+abc+c^2a}+\frac{b^4}{bc^2+abc+ba^2}+\frac{c^4}{ca^2+abc+cb^2}\)

>=\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab^2+a^2b+bc^2+cb^2+ca^2+ac^2+3abc}\) =\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\) (Đấy  là bđt svacxơ nhé )

ta cần chứng minh \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\)

   điều này luôn đúng vì dễ dàng chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca;\)

                                               và \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt{3}}\)

đến đây bạn nhân vào sẽ ra ĐPCM

dáu = xảy ra <=> a=b=c>0

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và khi đó ta được:

\(\frac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^5}{c^2+ca+a^2}\ge\)

\(\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2}\)

\(\Rightarrow\)Ta cần chỉ ra được:

\(\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

Hay: \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)

Dễ thấy: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right);b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right);c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

chứng minh \(\sqrt{2x+1}\)là số vô tỉ

Vào thống kê hỏi đáp xem nhé. Bài này chỉ cần biểu diễn dưới dạng tổng bình phương là xong.

ta có \(\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3}\ge\frac{3}{4}\) (***)

do ab+bc+ca=3 nên

VT (***)=\(\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{b^3}{c^2+ab+bc+ca}+\frac{c^3}{a^2+ab+bc+ca}\)

\(=\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b^3}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)

áp dụng bđt AM-GM ta có \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{a+b}{8}\ge\frac{3a}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{5a-2b-c}{8}\left(1\right)\)

chứng minh tương tự ta cũng được

\(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\ge\frac{5b-2c-a}{8}\left(2\right)\\\frac{c^3}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{5c-2a-b}{8}\left(3\right)\end{cases}}\)

cộng theo vế với vế của (1),(2) và (3) ta được VT (***) \(\ge\frac{a+b+c}{4}\)

mặt khác ta dễ dàng chứng minh được \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\)

đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 (đpcm)

ok cảm ơn bạn nha :)